%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.13. French}

\textbf{Proposition 1.13}
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pour toute suite exacte horizontale
\[
V' \longrightarrow V \longrightarrow V''
\]
si les connexions de $V'$ et $V''$ sont régulières, alors la connexion de $V$ est régulière.
\item[(ii)] Si les connexions de $V_1$ et $V_2$ sont régulières, alors les connexions naturelles de
\[
V_1 \otimes V_2,\; \mathrm{Hom}(V_1, V_2),\; V_1^*,\; \wedge^p V_1,\; \dots
\]
sont régulières.
\item[(iii)] Si $\Theta'$ est un anneau de valuation discrète de corps des fractions $K'$ algébrique sur le corps des fractions $K$ de $\Theta$, et si $V' = V \otimes_K K'$, alors la connexion de $V'$ est régulière si et seulement si celle de $V$ l'est.
\end{enumerate}

L'assertion (iii), déjà utilisée en 1.12, résulte par exemple du calcul 1.10 et du fait que l'image réciproque d'une forme différentielle présentant un pôle simple présente encore un pôle simple.

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L'assertion (ii) résulte aussitôt du critère 1.12 (i).

L'assertion (i) signifie que pour toute suite exacte courte
\[
0 \longrightarrow V' \longrightarrow V \longrightarrow V'' \longrightarrow 0,
\]
$V$ est régulier si et seulement si $V'$ et $V''$ le sont. Après une éventuelle extension des scalaires, choisissons des bases $e'$ et $e''$ de $V'$ et $V''$ vérifiant 1.12 (i) ou (ii). Relevons $e''$ en une famille de vecteurs $e_0^n$ de $V$. Pour $N$ grand, la base $e' \cup t^{-N} e_0^n$ de $V$ vérifiera 1.12 (i) si $e'$ et $e''$ vérifient 1.12 (i), et vérifiera 1.12 (ii) dans le cas contraire.

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\subsection*{1.13. English}

\textbf{Proposition 1.13}
\begin{enumerate}
\item[(i)] For any horizontal short exact sequence
\[
V' \longrightarrow V \longrightarrow V'',
\]
if the connections on $V'$ and $V''$ are regular, then the connection on $V$ is regular.

\item[(ii)] If the connections on $V_1$ and $V_2$ are regular, then the natural induced connections on
\[
V_1 \otimes V_2,\; \mathrm{Hom}(V_1, V_2),\; V_1^,\; \wedge^p V_1,\; \dots
\]
are also regular.

\item[(iii)] Let $\Theta'$ be a discrete valuation ring with fraction field $K'$ algebraic over the fraction field $K$ of $\Theta$, and let $V' = V \otimes_K K'$. Then the connection on $V'$ is regular if and only if the connection on $V$ is regular.
\end{enumerate}

Assertion (iii), already used in 1.12, follows for instance from the computation in 1.10 and from the fact that the pullback of a differential form with a simple pole still has a simple pole.

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Assertion (ii) follows immediately from the criterion in 1.12(i).

Assertion (i) means that for any short exact sequence
\[
0 \longrightarrow V' \longrightarrow V \longrightarrow V'' \longrightarrow 0,
\]
$V$ is regular if and only if both $V'$ and $V''$ are regular. After a possible scalar extension, choose bases $e'$ and $e''$ of $V'$ and $V''$ satisfying condition 1.12(i) or (ii). Lift $e''$ to a family of vectors $e_0^n$ in $V$. For $N$ sufficiently large, the basis $e' \cup t^{-N} e_0^n$ of $V$ will satisfy 1.12(i) if both $e'$ and $e''$ satisfy 1.12(i), and will satisfy 1.12(ii) otherwise.

